17558. Дан остроугольный треугольник ABC
, у которого \angle ACB=45^{\circ}
, G
— точка пересечения медиан, а O
— центр описанной окружности. Известно, что OG=1
и OG\parallel BC
. Найдите сторону BC
.
Ответ. 12.
Решение. Пусть луч AO
пересекает сторону BC
и описанную окружность треугольника ABC
в точках I
и J
соответственно, а D
— середина стороны BC
. Поскольку \angle ACJ=90^{\circ}
, а \angle ACB=45^{\circ}
, то CI
— биссектриса треугольника ACI
. Значит (см. задачу 1509),
\frac{AC}{CJ}=\frac{AI}{IG}.
Поскольку OG\parallel BC
, то по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{AO}{OI}=\frac{AG}{DG}=2.
Значит,
\tg\angle ABC=\tg\angle AJC=\frac{AC}{CJ}=\frac{AI}{IJ}=\frac{AO+OI}{OJ-OI}=\frac{AO+OI}{AO-OI}=\frac{2OI+OI}{2OI-OI}=3.
Далее получаем
\tg\angle ACB=\tg45^{\circ}=1~\Rightarrow~\tg\angle BAC=\tg(135^\circ-\angle ABC)=
=\frac{\tg135^{\circ}-\tg\angle ABC}{1+\tg135^{\circ}\tg\angle ABC}=\frac{-1-3}{1+(-3)}=2.
Кроме того, центральный угол BOC
вдвое больше соответствующего вписанного угла BAC
, поэтому \angle BAC=\angle COD
. Значит,
\tg\angle BAC=\tg\angle COD=\frac{CD}{OD}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\frac{OD}{DI}=\tg\angle DIO=\tg\angle AIB=\tg(\angle ACB+\angle CAI)=\tg(45^{\circ}+(90^{\circ}-\angle ABC))=
=\tg(135^{\circ}-\angle ABC)=\tg\angle BAC=\tg\angle COD=\frac{CD}{OD},
а так как из подобия
\frac{OG}{ID}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}~\Rightarrow~ID=\frac{3}{2}OG=\frac{3}{2},
то
BC=2CD=2\cdot OD\tg\angle BAC=2\cdot ID\tg^{2}\angle BAC=2\cdot\frac{3}{2}\cdot4=12.
Примечание. Поскольку OG
— прямая Эйлера треугольника ABC
и OG\parallel BC
, то \tg\angle B\tg\angle C=3
(см. задачу 4891).
Источник: Украинская устная олимпиада по геометрии. — 2020, задача 5, 9 класс