17559. В треугольнике ABC
с углом 30^{\circ}
при вершине A
проведена медиана CD
. Найдите \angle DCB
, если треугольник ACD
равнобедренный.
Ответ. \sqrt{3}
или \frac{\sqrt{3}}{5}
или \frac{2+\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Обозначим \angle DCB=\alpha
. Возможны три случая.
1) Если CD=AD
, т. е. медиана CD
треугольника ABC
равна половине стороны AB
. Тогда \angle ACB=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Значит,
\alpha=\angle DCB=\angle ABC=60^{\circ}~\Rightarrow~\tg\alpha=\sqrt{3}.
2) Пусть CD=AC=b
, BC=a
и AB=c
. Из треугольника ACD
находим c=2b\sqrt{3}
, а по формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014) получаем
4CD^{2}=2(a^{2}+b^{2})-c^{2},~\mbox{или}~4b^{2}=2(a^{2}+b^{2})-12b^{2},
откуда a=b\sqrt{7}
. Тогда
\cos\alpha=\frac{5\sqrt{7}}{14},~\sin\alpha=\frac{\sqrt{21}}{14}.
Следовательно, \tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{5}
.
3) AD=AC
. Аналогично предыдущему случаю находим \tg\alpha=\frac{2+\sqrt{3}}{3}
.
Источник: Украинская устная олимпиада по геометрии. — 2020, задача 3, 10 класс