17564. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
пересекаются в точках P
и Q
. Общая касательная к окружностям, ближайшая к точке P
, касается \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
в точках A
и B
соответственно. Касательная к \Gamma_{1}
вторично пересекает \Gamma_{2}
в точке C
, а прямые AP
и BC
пересекаются в точке R
. Докажите, что описанная окружность треугольника PQR
касается BP
и BR
.
Решение. Пусть прямые PC
и AB
пересекаются в точке X
. Обозначим \angle AQP=x
и \angle PBA=y
. По теореме об угле между касательной и хордой
x=\angle AQP=\angle PAB=\angle PAX=\angle APX=\angle CPR,
y=\angle PBA=\angle PQB=\angle BCP.
Поскольку ARB
— внешний угол треугольника CPR
, а RPB
— внешний угол треугольника APB
, то
\angle AQB=\angle AQP+\angle BQP=x+y=\angle ARB=\angle RPB.
Значит, четырёхугольник AQRB
вписанный (см. задачу 12). Тогда
\angle BQR=\angle ARB=\angle BAR=x~\Rightarrow~\angle PQR=\angle BQR+\angle PQB=x+y=\angle BPR.
Следовательно, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), прямая BP
— касательная к описанной окружности треугольника PQR
. Аналогично, из равенства \angle BRP=x+y=PQR
следует, что прямая BR
— касательная к описанной окружности треугольника PQR
.
Что и требовалось доказать.
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 1999, задача 3