17570. В остроугольном треугольнике ABC
с вершиной в точке B
проведена биссектриса BM
. Две окружности, вписанные в треугольники ABM
и MBC
, касаются биссектрисы в точках K
и N
соответственно. Найдите модуль разности проекций сторон AB
и BC
на основание AC
треугольника ABC
, если NK=0{,}75
, а периметр треугольника ABC
в пять раз больше его основания.
Ответ. 8.
Решение. Из свойства касательных к окружности следует, что
BK=p_{ABM}-AM,~BN=p_{CBM}-CM,
где p_{ABM}
и p_{CBM}
— полупериметры соответствующих треугольников (см. задачу 219), а так как по условию BA+BC+AC=5AC
, то BA+BC=4AC
.
По свойству биссектрисы (см. задачу 1509)
\frac{AM}{AC}=\frac{BA}{BA+BC}~\Rightarrow~AM=\frac{BA\cdot BC}{BA+BC}.
Аналогично, CM=\frac{BC\cdot AC}{BA+BC}
. Тогда
NK=|BN-BK|=|p_{CBM}-p_{ABM}+AM-CM|=
=\left|\frac{BC+BM-CM}{2}-\frac{BA+BM-AM}{2}+AM-CM\right|=
=\left|\frac{BC-BA}{2}-\frac{(BC-BA)AC}{2(BA+BC)}\right|=\frac{1}{2}|BC-BA|\cdot\left|1-\frac{AC}{BA+BC}\right|=
=\frac{1}{2}|BC-BA|\cdot\frac{BA+BC-AC}{BA+BC}=\frac{1}{2}|BC-BA|\cdot\frac{4AC-AC}{4AC}=\frac{3}{8}|BC-BA|,
откуда |BC-BA|=2
.
Пусть BH
— высота треугольника ABC
. Тогда
|AH^{2}-CH^{2}|=|BA^{2}-BC^{2}|=|BA-BC|(BA+BC)=2\cdot4AC=8AC.
С другой стороны
|AH^{2}-CH^{2}|=|AH-CH|AC.
Следовательно, из равенства
|AH-CH|AC=8AC
получаем, что
|AH-CH|=8.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2024-2025, заключительный этап, задача 5, 9 класс