17590. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
касаются в точке A
, причём окружность \Gamma_{2}
лежит внутри \Gamma_{1}
. Пусть точка B
лежит на окружности \Gamma_{2}
, а C
— точка пересечения окружности \Gamma_{1}
с лучом AB
; D
— точка на окружности \Gamma_{1}
, P
— точка на отрезке CD
, а прямая BP
вторично пересекает \Gamma_{2}
в точке Q
. Докажите, что точки A
, D
, P
и Q
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть S
— точка пересечения хорды AD
окружности \Gamma_{1}
с окружностью \Gamma_{2}
. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
гомотетичны с центром гомотетии в точке A
(см. задачу 6401), поэтому SB\parallel DC
(см. задачу 5707). Тогда
\angle PDS=\angle BSA=\angle BQA=180^{\circ}-\angle ABQ.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Мексиканская геометрическая олимпиада. — 2021, задача 2