17593. Прямая, проходящая через центр I
вписанной окружности треугольника ABC
, пересекает его описанную окружность в точках F
и G
, а вписанную — в точках D
и E
, причём точка D
лежит между I
и F
. Докажите, что DE\cdot EG\geqslant r^{2}
, где r
— радиус вписанной окружности. Когда достигается равенство?
Ответ. Равенство достигается, если FG
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
, O
— её центр. Далее воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627), формулой Эйлера для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника (см. задачу 126) и очевидным неравенством 2R\geqslant FG
.
DF\cdot EG=(IF-r)(IG-r)=IF\cdot IG-r(IF+IG)+r^{2}=
=(R-OI)(R+OI)-FG\cdot r+r^{2}=(R^{2}-OI^{2})-FG\cdot r+r^{2}=
2Rr-FG\cdot r+r^{2}\geqslant FG\cdot r-FG\cdot r+r^{2}=r^{2}.
Очевидно, равенство достигается в случае, когда FH=2R
, т. е. когда FG
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
.
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 1986, задача 1