17606. Дан треугольник ABC
, в котором \angle ABC=60^{\circ}
и \angle BCA=100^{\circ}
. На сторонах AB
и AC
, отмечены точки D
и E
соответственно, причём \angle EDC=2\angle BCD=2\angle CAB
. Найдите \angle BED
.
Ответ. 10^{\circ}
.
Решение. Из условия следует, что
\angle BAC=20^{\circ},~\angle BCD=20^{\circ},~\angle EDC=40^{\circ},~\angle ADC=100^{\circ}-20^{\circ}=80^{\circ}=\angle ACD.
Поскольку
\angle ADE=\angle ADC-\angle EDC=80^{\circ}-40^{\circ}=40^{\circ}=\angle EDC,
то DE
— биссектриса равнобедренного треугольника ADC
. Тогда (см. задачу 1509)
\frac{CE}{EA}=\frac{CD}{AD}=\frac{CD}{AC}.
Треугольники CBD
и ABC
подобны по двум углам, поэтому \frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}
. Значит,
\frac{CE}{AC}=\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AB}.
Тогда (см. задачу 1510) BE
— биссектриса треугольника ABC
, поэтому \angle ABE=30^{\circ}
. Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BED=\angle ADE-\angle DBE=40^{\circ}-30^{\circ}=10^{\circ}.
Источник: Новосибирская устная олимпиада по геометрии. — 2023, задача 7, 9 класс