17613. Дан треугольник ABC
, в котором \angle BAC\lt90^{\circ}
. Окружность \Gamma
проходит через вершину A
и касается прямой BC
в точке C
. Пусть M
— середина стороны BC
, прямая AM
вторично пересекает окружность \Gamma
в точке D
, а прямая BD
вторично пересекает \Gamma
в точке E
. Докажите, что \angle BAC=\angle CAE
.
Решение. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93) MC^{2}=MD\cdot MA
, а так как MB=MC
, то MB^{2}=MD\cdot MA
. Тогда по теореме, обратной теореме касательной и секущей (см. задачу 4776), MB
— касательная к описанной окружности треугольника ABD
. По теореме об угле между касательной и хордой и теореме о внешнем угле треугольника получаем
\angle BAC=\angle BAM+\angle MAC=\angle MBD+\angle DAC=\angle CBD+\angle BCD=\angle CDE=\angle CAE.
Что и требовалось доказать.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2014, первый день, задача 2