17615. Дана фиксированная окружность \Gamma
с центром O
и радиусом r
; B
и C
— различные фиксированные точки окружности \Gamma
. Пусть A
— точка окружности \Gamma
, отличная от B
и C
, а P
— точка, симметричная центру O
относительно точки A
. Прямая, проходящая через точку O
параллельно AB
, пересекается с прямой, проходящей через точку P
параллельно AC
, в точке D
.
а) Докажите, при перемещении точки A
(отличной от B
и C
) по окружности точка D
лежит на фиксированной окружности, радиус которой не меньше r
.
б) Докажите, что равенство в пункте а) достигается тогда и только тогда, когда BC
— диаметр окружности \Gamma
.
Решение. а) Пусть Q
— точка, симметричная точке O
относительно фиксированной точки C
(точки O
и Q
не зависят от положения точки A
на окружности \Gamma
). Поскольку A
и C
— середины OP
и OQ
, то AC\parallel PQ
, значит, точка D
лежит на PQ
.
Поскольку OD\parallel BA
и DQ\parallel AC
, то \angle(OD,DQ)=\angle(BA,AC)
, значит, этот угол не зависит от (допустимого) положения точки A
на окружности \Gamma
. Следовательно, точка D
лежит на фиксированной окружности, проходящей через точки O
и Q
(см. задачу 12).
Пусть X
— центр этой окружности, а R
— радиус. Поскольку OQ
— хорда этой окружности и OQ=2r
, то 2r=OQ\leqslant2R
, откуда R\geqslant r
. Что и требовалось доказать.
б) Равенство достигается тогда и только тогда, когда OQ
— диаметр этой окружности, что равносильно условию OD\perp DQ
(см. задачу 1689), а это, в свою очередь, равносильно условию BA\perp AC
. Таким образом равенство достигается тогда и только тогда, когда BC
— диаметр окружности \Gamma
. Что и требовалось доказать.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2015, первый день, задача 4