17618. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
пересекаются в различных точках A
и M
. Касательная к \Gamma_{1}
в точке A
вторично пересекает \Gamma_{2}
в точке B
. Касательная к \Gamma_{2}
в точке A
вторично пересекает \Gamma_{1}
в точке D
. Точка C
симметрична точке A
относительно точки M
. Докажите, что четырёхугольник ABCD
вписанный.
Решение. Обозначим \angle MAD=\alpha
и \angle MAB=\beta
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle ABM=\angle MAD=\alpha,~\angle ADM=\angle MAB=\beta.
Значит, треугольники AMD
и BMA
подобны по двум углам, поэтому
\frac{MA}{MD}=\frac{MB}{MA},~\mbox{или}~\frac{MC}{MD}=\frac{MB}{MC}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CMD=\angle MAD+\angle MDA=\alpha+\beta,~\angle CMB=\angle MAB+\angle MBA,
поэтому треугольники CMD
и BMC
подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle BCD=\angle BCM+\angle MCD=\angle BCM+\angle MBC=
=180^{\circ}-\angle BMC=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-\angle BAD.
Следовательно (см. задачу 49), четырёхугольник ABCD
вписанный. Что и требовалось доказать.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 2017, второй день, задача 6