17673. Медианы AD
и BE
треугольника ABC
перпендикулярны. Докажите, что AB
— наименьшая сторона треугольника ABC
.
Решение. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, а CF
— третья медиана. Тогда MF
— медиана прямоугольного треугольника ABM
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачи 1109 и 1207)
AB=2MF=CM.
Луч ME
проходит между сторонами угла AMC
, так как этот луч пересекает отрезок AC
с концами A
и C
на сторонах угла. Значит,
\angle AMC=\angle AME+\angle CME=90^{\circ}+\angle CME\gt90^{\circ},
поэтому против тупого угла AMC
в треугольнике AMC
лежит наибольшая сторона. Тогда
AC\gt CM=AB.
Аналогично, BC\gt AB
. Следовательно, AB
— наименьшая сторона треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2006, финальный этап, задача 1, 9 класс