17706. Рассмотрим всевозможные шестиугольники с равными внутренними углами.
а) Докажите, суммы любых соседних сторон такого шестиугольника равны суммам противоположных им сторон.
б) Существует ли среди этих шестиугольников такой, у которого стороны в некотором порядке равны 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Ответ. б) Существует.
Решение. а) Пусть ABCDEF
— шестиугольник из условия задачи. Достаточно доказать, что
AB+BC=DE+EH.
Заметим, что все углы такого шестиугольника равны по 120^{\circ}
(см. задачу 1198). Пусть K
— точка пересечения лучей FA
и CB
, а L
— точка пересечения лучей FE
и CD
. Тогда KAB
и LDE
— равносторонние треугольники, а так как противоположные углы четырёхугольника FKCL
попарно равны, то это параллелограмм (см. задачу 1096). Значит,
KC=LF,~\mbox{или}~KB+BC=LE+EF,
а так как KB=AB
и LE=DE
, то
AB+BC=DE+EH.
Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим параллелограмм ABC
со сторонами 7 и 5 и углами 60^{\circ}
и 120^{\circ}
. Отрежем от одного его острого угла равносторонний треугольник о стороной 1, а от противоположного угла — равносторонний треугольник со стороной 2. Получим шестиугольник, все углы которого равны по 120^{\circ}
а стороны равны 1, 4, 5, 2, 3 и 6 (см. рис.).
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2012, задача 1, 9 класс