17721. Точка M
— середина стороны AB
треугольника ABC
. Окружность, проходящая через вершину C
, касается прямой AB
в точке A
, а другая окружность, проходящая через вершину C
, касается прямой AB
в точке B
. Эти окружности вторично пересекаются в точке N
. Докажите, что
CM^{2}+CN^{2}-MN^{2}=CA^{2}+CB^{2}-AB^{2}.
Решение. Пусть прямая CN
пересекает сторону AB
в точке M'
. Тогда (см. задачу 444) M'
— середина стороны AB
, т. е. точка M'
совпадает с M
, поэтому точка N
лежит на медиане CM
треугольника ABC
. По теореме о касательной и секущей
AM^{2}=MN\cdot CN~\Rightarrow~AB^{2}=(2AM)^{2}=4AM^{2}.
По формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014)
4CM^{2}=2CA^{2}+2CB^{2}-AB^{2}~\Rightarrow~2CA^{2}+2CB^{2}-4AM^{2}=4CM^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~CA^{2}+CB^{2}-2AM^{2}=2CM^{2}~\Rightarrow~CA^{2}+CB^{2}=2CM^{2}+2AM^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~CA^{2}+CB^{2}-AB^{2}=2CM^{2}+2AM^{2}-AB^{2}=2CM^{2}+2AM^{2}-4AM^{2}=
=2CM^{2}-2AM^{2}.
В то же время,
CM^{2}+CN^{2}-MN^{2}=CM^{2}+(CM-MN)^{2}-MN^{2}=
=2CM^{2}-2CM\cdot MN+MN^{2}-MN^{2}=2CM^{2}-2CM\cdot MN=
=2CM^{2}-2AM^{2}=CA^{2}+CB^{2}-AB^{2}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2014, задача 9