17723. Биссектриса угла при вершине
A
треугольника
ABC
пересекает сторону
BC
в точке
D
. Окружность
\omega
проходит через вершину
A
и касается стороны
BC
в точке
D
. Докажите что описанная окружность треугольника
ABC
касается окружности
\omega
в точке
A
.
Решение. Утверждение очевидно, если
AB=AC
. Предположим, что
AC\lt BC
. Пусть
L
— точка пересечения прямой
BC
с касательной к окружности
\omega
в точке
A
. Тогда
LA=LB
и
\angle LAD=\angle LDA
, а так как
AD
— биссектриса угла
BAC
, то
\angle CAD=\angle DAB
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CBA=\angle LDA-\angle DAB=\angle LAD-\angle DAB=\angle LAD-\angle CAD=\angle LAC.

Значит, по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), прямая
LA
— касательная и к описанной окружности треугольника
ABC
. Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично для случая
AC\gt BC
.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2015, задача 10, до 10-12 классы