17738. Отрезок BE
— высота остроугольного треугольника ABC
. Точка P
лежит на стороне AB
, причём AP=AE
. Точка N
— вершина параллелограмма BCEN
. Треугольники AEP
и BNP
равновелики. Прямые NE
и AB
пересекаются в точке Q
.
а) Докажите, что медиана треугольника ABC
, проведённая из вершины C
, проходит через середину отрезка PQ
.
б) Докажите, что биссектриса угла BAC
, высота BE
и медиана, проведённая из вершины C
треугольника ABC
, пересекаются в одной точке.
Решение. Обозначим AC=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, AE=AP=u
. Поскольку BCEN
— параллелограмм, BN=CE=b-u
и BN\parallel CE
, а треугольники AQE
и BQN
подобны по двум углам.
а) Заметим, что
S_{\triangle AEP}=\frac{1}{2}AQ\cdot AE\sin\angle BAC=\frac{1}{2}u^{2},~S_{\triangle BNP}=\frac{1}{2}BN\cdot BP\sin\angle NBP=\frac{1}{2}(b-u)(c-u).
Из равенства \frac{1}{2}u^{2}=\frac{1}{2}(b-u)(c-u)
получаем
u^{2}=(b-u)(c-u)~\Rightarrow~\frac{c-u}{u}=\frac{u}{b-u}.
Обозначим BQ=x
. Из подобия треугольников AQE
и BQN
следует, что
\frac{AQ}{BQ}=\frac{AE}{BN},~\mbox{или}~\frac{c-x}{x}=\frac{u}{b-u},
откуда x=u
. Значит, BQ=u=AP
. Следовательно, середина отрезка PQ
совпадает с серединой стороны AB
. Что и требовалось доказать.
б) Пусть F
— середина стороны AB
, а D
— основание биссектрисы треугольника ABC
, проведённой из вершины A
. Тогда по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}
, а так как треугольники ABC
и AQE
подобны, то
\frac{CE}{EA}=\frac{BN}{BQ}=\frac{AC}{AB}.
Значит,
\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1\cdot\frac{AB}{AC}\cdot\frac{AC}{AB}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) прямые CF
, AD
и AE
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Источник: Эстонские математические олимпиады. — 2017, задача 15, 12 класс