17780. Вневписанная окружность \omega_{a}
треугольника ABC
, противоположная вершине A
, касается прямых AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Вневписанная окружность \omega_{b}
противоположная вершине B
, касается сторон BA
и BC
в точках M
и N
соответственно. Точки K
и L
— проекции точки C
на прямые MN
и PQ
соответственно. Докажите, что четырёхугольник MKLP
вписанный.
Решение. Обозначим углы треугольника, противолежащие сторонам BC=a
и AC=b
, через \alpha
и \beta
соответственно. Поскольку BM=BN
, треугольник MBN
равнобедренный, поэтому
\angle KMP=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Четырёхугольник MKLP
вписанный, если
\angle KLP+\angle KMP=180^{\circ},~\mbox{т. е.}~\angle KLP=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}.
Таким образом, достаточно доказать равенство
\angle KLP=90^{\circ}+\frac{\beta}{2},~\mbox{или}~\angle KLC=\frac{\beta}{2}.
Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, т. е. точка пересечения его биссектрис, а D
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной AB
. Тогда
\angle KCN=90^{\circ}-\angle BNM=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\beta}{2}=\angle IBC.
Значит, CK\parallel IB
. Аналогично, CL\parallel IA
. Тогда \angle KCL=\angle AIB
.
Из равенств CN=AD=p-a
(см. задачи 219 и 1750) и \angle KCN=\angle BIN=\frac{\beta}{2}
получаем
CK=CN\cos\frac{\beta}{2}=AD\cos\frac{\beta}{2}=AI\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}.
Аналогично,
CL=BI\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2},
поэтому \frac{CK}{CL}=\frac{AI}{BI}
. Значит, треугольники KCL
и AIB
подобны. Тогда
\angle KCL=\angle ABI=\frac{\beta}{2}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 2013, задача 1