17781. Вписанная в треугольник ABC
окружность с центром O
касается сторон BD
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Прямая AD
пересекает окружность в точке P
, отличной от D
, M
— середина EF
. Докажите, что либо точки P
, M
, E
и D
лежат на одной прямой, либо на одной окружности.
Решение. Пусть треугольник ABC
равнобедренный, AB=AC
. Тогда прямая AD
— его ось симметрии, поэтому точки P
, M
, E
и D
лежат на прямой AD
.
Пусть AB\ne AC
. В прямоугольном треугольнике AEO
отрезок EM
— высота, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
AE^{2}=AM\cdot AD.
В то же время, по теореме о касательной и секущей (см. задачу 54)
AE^{2}=AP\cdot AD.
Значит, AM\cdot AD=AP\cdot AD
. Следовательно (см. задачу 114), точки P
, M
, E
и D
лежат на одной окружности.
Источник: Иберо-американская математическая олимпиада. — 1990, задача A2