17784. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
, AE
и BF
— высоты. При симметрии относительно биссектрисы угла A
луч AH
переходит в луч l
, а при симметрии относительно биссектрисы угла B
луч BF
переходит в луч m
. Лучи l
и m
пересекаются в точке O
. Лучи AE
и AO
пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках M
и N
соответственно. Отрезки BC
и HN
пересекаются в точке P
, отрезки BC
и OM
— в точке R
, а луч HR
пересекает отрезок MN
в точке S
. Докажите, что AHSO
— параллелограмм.
Решение. Заметим, что точка O
из условия задачи — центр описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 20). Тогда AN
— диаметр описанной окружности треугольника, поэтому
\angle AMN=90^{\circ}=\angle AEC,
Значит, MN\parallel BC
. Тогда OP
— серединный перпендикуляр к стороне BC
, поэтому OS\parallel AH
, P
— середина BC
, а так как E
— середина MH
(см. задачу 4785), то по теореме Фалеса P
— середина OS
.
Поскольку точка R
лежит на BC
, прямоугольные треугольники HER
и MER
равны, поэтому
\angle EHR=\angle EMR=\angle AMO=\angle MAO.
Значит, HS\parallel AO
. Следовательно, AHSO
— параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Источник: Иберо-американская математическая олимпиада. — 1997, задача B2