17790. Точки X
и Y
лежат на стороне BC
треугольника ABC
, причём BX=XY=YC
. Точки M
и N
лежат на стороне AC
, причём AM=MN=NC
. Лучи BM
и BN
пересекают отрезок AY
в точках P
и Q
соответственно. Площадь треугольника ABC
равна 1. Найдите площадь четырёхугольника QMNR
.
Ответ. \frac{5}{42}
.
Решение. Пусть S_{\triangle ABC}=s
. Тогда
S_{\triangle CAY}=\frac{CY}{BC}\cdot s=\frac{1}{3}s
(см. задачу 3000).
Обозначим BX=XY=YC=a
. Через точку A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть лучи BM
и CN
пересекают эту прямую в точках E
и P
соответственно. Треугольник AME
подобен треугольнику CMB
с коэффициентом \frac{AM}{MC}=\frac{1}{2}
, поэтому AE=\frac{1}{2}BC=\frac{3a}{2}
. Значит, \frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}
.
Треугольник AQE
подобен треугольнику YQB
с коэффициентом \frac{AE}{BC}=\frac{\frac{3}{2}a}{2a}=\frac{3}{4}
, поэтому \frac{AQ}{AY}=\frac{3}{7}
.
Треугольник ANP
подобен треугольнику CNB
с коэффициентом \frac{AN}{NC}=2
, поэтому AP=2BC=6a
, а \frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}AC
. Значит, \frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}
. Треугольник ARP
подобен треугольнику YRB
с коэффициентом \frac{AP}{BY}=\frac{6a}{2a}=3
, поэтому \frac{AR}{AY}=\frac{AP}{BY}=3
, а \frac{AR}{AY}=\frac{3}{4}
.
Итак,
\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3},~\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3},~\frac{AQ}{QY}=\frac{3}{7},~\frac{AR}{AY}=\frac{3}{4}.
Следовательно (см. задачу 3007),
S_{QMNR}=S_{\triangle ANR}-S_{\triangle AMQ}=\frac{AN}{AC}\cdot\frac{AR}{AY}\cdot S_{\triangle CAY}-\frac{AM}{AC}\cdot\frac{AQ}{AY}\cdot S_{\triangle CAY}=
=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}-\frac{1}{21}=\frac{5}{42}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2002, задача 7