17792. На стороне BC
квадрата ABCD
отмечена точка E
. Известно, что BE=4
, EC=2
. Точка P
лежит на прямой BD
. Найдите PB
, если сумма сумма PE+PC
минимальна.
Ответ. \frac{15\sqrt{2}}{8}
.
Решение. Вершины A
и C
квадрата ABCD
симметричны относительно прямой BD
, поэтому сумма PE+PC
минимальна, если точка P
лежит на отрезке AE
(см. задачу 5004). Тогда
PE+PC=PA=\sqrt{BE^{2}+AE^{2}}+\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.
Поскольку BP
— биссектриса прямоугольного треугольника ABE
, то (см. задачу 4021)
BP=\frac{2AB\cdot BE\cos45^{\circ}}{AB+BE}=\frac{2\cdot5\cdot3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{5+3}=\frac{15\sqrt{2}}{8}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2002, задача 13