17800. Две медианы треугольника равны 9 и 12. Найдите максимально возможную площадь треугольника.
Ответ. 72.
Решение. Пусть BE=9
и CF=12
— медианы треугольника, а G
— точка их пересечения. По теореме о медианах треугольника (см. задачу 1207)
BG=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}\cdot9=6,~CG=\frac{2}{3}CF=\frac{2}{3}\cdot12=8.
Тогда (см. задачу 3013)
S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle GBC}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot BG\cdot CG\sin\angle BGC=\frac{1}{2}\cdot3\cdot6\cdot8\sin\angle BGC=72\sin\angle BGC\leqslant72,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда \angle BGC=90^{\circ}
, т. е. тогда и только тогда, когда медианы BE
и CF
перпендикулярны. Следовательно, наибольшее значение площади треугольника ABC
равно 72.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2005, задача 7