17805. Три точки A
, B
и G
лежат на окружности, причём \angle AGB=48^{\circ}
. Хорда AB
делится точками C
и D
на три равные части, причём точка C
ближе к A
. Меньшая дуга AB
делится точками E
и F
на три равные части, причём точка E
ближе к A
. Прямые EC
и FD
пересекаются в точке H
. Найдите градусную меру угла AHB
.
Ответ. 32^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности. Заметим, что градусная мера дуги AFB
равна 2\cdot48^{\circ}=96^{\circ}
, поэтому
\angle EOF=\frac{1}{3}\cdot96^{\circ}=32^{\circ}.
Докажем, что HA\parallel OE
и HB\parallel OF
. Тогда
\angle AHB=\angle EOF~\Rightarrow~32^{2}.
Следовательно, ответ задачи — 32^{\circ}
.
Для доказательства параллельности HA
и OE
достаточно доказать, что обе прямые HA
и OE
перпендикулярны прямой AF
. Точки O
и E
равноудалены от концов отрезка AF
, поэтому прямая OE
— серединный перпендикуляр к хорде AF
.
Для доказательства перпендикулярности AF
и HA
продолжим HA
и EF
до пересечения в точке K
. Поскольку H
— точка пересечения продолжений боковых сторон KA
и FD
трапеции AKFD
, а C
— середина её основания AD
, то E
— середина основания KF
(см. задачу 1513), а так как AE=EF=EK
, то медиана AE
треугольника KAF
равна половине стороны FK
. Значит, KAF
— прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине A
(см. задачу 1188), т. е. AF\perp HA
. Следовательно, HA\parallel OE
. Аналогично докажем, что HB\parallel OF
. Отсюда следует утверждение исходной задачи.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2006, задача 8