17821. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, в высоты относятся как 3:4:6
. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Ответ. \frac{16}{5}
.
Решение. Стороны треугольника обратно пропорциональны проведённым к ним высотам (см. задачу 1967), поэтому соответствующие стороны треугольника относятся как \frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\frac{1}{6}=4:3:2
.
Пусть стороны треугольника равны 4k
, 3k
и 2k
, а S
— площадь треугольника. Тогда по формуле Герона
S=k^{2}\sqrt{\frac{9}{2}\left(\frac{9}{2}-4\right)\left(\frac{9}{2}-3\right)\left(\frac{9}{2}-2\right)}=\frac{3k^{2}\sqrt{15}}{4}.
В то же время, радиус вписанной окружности треугольника равен его удвоенной площади, делённой на периметр (с. задачу 452), значит,
1=\frac{2S}{9k}=\frac{2\cdot\frac{3k^{2}\sqrt{15}}{4}}{9k}~\Rightarrow~k=\frac{6}{\sqrt{15}}.
Пусть искомый радиус описанной окружности треугольника равен R
, а угол треугольника, противолежащей наименьшей стороне, равен \theta
. Тогда по теоремам синусов и косинусов
2R=\frac{2k}{\sin\theta}=\frac{2k}{\sqrt{1-\cos^{2}\theta}}=\frac{2k}{\sqrt{1-\left(\frac{3^{2}+4^{2}-2^{2}}{2\cdot3\cdot4}\right)^{2}}}=\frac{2\cdot\frac{6}{\sqrt{15}}}{\sqrt{1-\left(\frac{7}{8}\right)^{2}}}=\frac{32}{5}.
Следовательно, R=\frac{16}{5}
.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2011, задача 11