17845. Около треугольника ABC
со сторонами AB=4
и AC=6
описана окружность и к ней в точках B
и C
проведены касательные, пересекающиеся в точке D
. Точки A
и D
равноудалены от прямой BC
. Найдите BC
.
Ответ. \sqrt{26}
.
Решение. При гомотетии с центром A
и коэффициентом \frac{1}{2}
точки B
и C
переходят в середины M
и N
сторон AB
и AC
соответственно, касательные BD
и CD
к описанной окружности треугольника ABC
, — в касательные к окружности, описанной около треугольника AMN
, проведённые в точках M
и N
, а точка D
— в точку F
, лежащую на стороне BC
, так как точки A
и D
равноудалены от прямой BC
.
По теореме об угле между касательной и хордой и из параллельности MN
и BC
получаем
\angle BMF=\angle ANM=\angle ACB,
значит, четырёхугольник AMFC
вписан в некоторую окружность (см. задачу 49). Тогда (см. задачу 2636)
BF\cdot BC=BM\cdot BA=2\cdot4=8.
Аналогично,
CF\cdot CB=CN\cdot CA=3\cdot6=18.
Следовательно,
BC^{2}=BC(BF+FC)=BC\cdot BF+BC\cdot FC=8+18=26~\Rightarrow~BC=\sqrt{26}.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2017, задача 17