17846. В остроугольный треугольник ABC
вписана окружность \omega
, касающаяся сторон BC
и CA
в точках D
и E
соответственно. Точка X
лежит на высоте AH
. Окружность \omega'
с диаметром AX
касается окружности \omega
и вторично пересекает стороны CA
и AB
в точках U
и V
. Найдите произведение BD\cdot DC
, если UV=12
, AX=15
и AE=24
.
Ответ. 384.
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, S
— площадь треугольника ABC
, p
— полупериметр, r
— радиус вписанной окружности, I
— её центр.
Тогда
S=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}~\Rightarrow~BD\cdot DC=(p-b)(p-c)=\frac{pr^{2}}{p-a}
(см. задачи 452, 2730 и 219).
По теореме синусов
15=AX=\frac{UV}{\sin\alpha}=\frac{12}{\sin\alpha}~\Rightarrow~\sin\alpha=\frac{4}{5}~\Rightarrow~\cos\alpha=\frac{3}{5}~~\Rightarrow~\tg\alpha=\frac{3}{4}~\Rightarrow
\Rightarrow~r=AE\tg\angle EAI=24\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{24\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{24\cdot\frac{4}{5}}{1+\frac{3}{5}}=12.
При гомотетии с центром A
и коэффициентом, равным отношению радиусов окружностей \omega
и \omega'
, точка A
переходит в D
, поэтому точки A
, Y
и D
лежат на одной прямой. Поскольку \angle XYD=\angle XHD=90^{\circ}
, точки X
, H
, D
, Y
лежат на одной окружности, поэтому
AX\cdot AH=AY\cdot AD=AE^{2}=24^{2}\Rightarrow~AH=\frac{24^{2}}{15}=\frac{192}{5}.
кроме того,
S=pr=\frac{a}{2}\cdot AH~\Rightarrow~a=\frac{2pr}{AH}=\frac{12p}{\frac{192}{5}}=\frac{5p}{8}.
Следовательно,
BD\cdot DC=\frac{pr^{2}}{p-a}=\frac{12^{2}p}{p-\frac{5}{8}p}=12^{2}\cdot\frac{8}{3}=384.
Источник: Математические олимпиады Гонконга. — 2017, задача 17