17906. Точка D
— середина стороны BC
треугольника ABC
. Биссектриса угла ADC
касается окружности, описанной около треугольника ABD
в точке D
. Докажите, что \angle BAC=90^{\circ}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой об угле между касательной и хордой (см. задачу 87).
Решение. Обозначим \angle ADE=\angle CDE=\theta
. Пусть биссектриса угла ADC
пересекает сторону AC
в точке E
. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
\angle ABD=\angle ADE=\angle CDE=\theta,
значит, DE\parallel AB
. Следовательно,
\angle BAD=\angle ADE=\theta=\angle ABD,
поэтому треугольник ABD
равнобедренный, AD=BD
. Тогда точка D
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
треугольника ABC
. В то же время, середина D
стороны BC
этого треугольника лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
. Значит, D
— точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC
, т. е. центр описанной окружности этого треугольника. Следовательно, треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине A
(см. задачу 1188). Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2016, задача 1