17912. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с центром O
. Его диагонали пересекаются в точке X
. Описанные окружности треугольников AXD
и BXC
вторично пересекаются в точке Y
, а описанные окружности треугольников AXB
и CXD
вторично пересекаются в точке Z
. Известно, что среди точек O
, X
, Y
, Z
нет совпадающих. Докажите, что точки O
, X
, Y
, Z
лежат на одной окружности.
Решение. Заметим, что поскольку четырёхугольники AYXD
и BOZC
вписанные, а центральный угол AOB
описанной окружности четырёхугольника ABCD
вдвое больше вписанного угла ACB
, то
\angle AYB=360^{\circ}-\angle AYX-\angle XYB=(180^{\circ}-\angle AYX)+(180^{\circ}-\angle XYB)=
=\angle XDA+\angle XCB=2\angle ACB=\angle AOB.
Следовательно, точки A
, B
, O
и Y
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Аналогично,
\angle CZB=360^{\circ}-\angle CZX-\angle XZB=(180^{\circ}-\angle CZX)+(180^{\circ}-\angle XZB)=
=\angle CDX+\angle XAB=\angle COB.
Следовательно, точки C
, Z
, O
и B
лежат на одной окружности.
Далее получаем
\angle XYO=360^{\circ}-\angle XYA-\angle AYO=(180^{\circ}-\angle XYA)+(180^{\circ}-\angle AYO)=
=\angle ADX+\angle ABO=\angle ADB+\angle ABO=\frac{1}{2}\angle AOB+\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB\right)=90^{\circ}.
Аналогично, \angle XZO=90^{\circ}
. Таким образом, из точек Y
и Z
отрезок XO
виден под прямым углом. Следовательно (см. задачу 1689), точки O
, X
, Y
, Z
лежат на одной окружности (на окружности с диаметром OX
).
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2018, задача 1