17916. В остроугольном треугольнике ABC
проведена высота AD
. Точка M
— середина стороны BC
, H
— ортоцентр треугольника ABC
. Луч MH
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке E
, а луч ED
пересекает эту окружность в точке F
. Докажите, что \frac{BF}{CF}=\frac{AB}{AC}
.
Указание. Докажите, что треугольник ABM
подобен треугольнику AFC
, а треугольник ACM
— треугольнику AFB
. См. также задачи 6300 и 20.
Решение. Если AB=AC
, то BF=CF
, поэтому 1=\frac{BF}{CF}=\frac{AB}{AC}
.
Пусть для определённости AB\gt AC
. Проведём диаметр AK
описанной окружности данного треугольника. Тогда
\angle BCK=\angle ACK-\angle ACB=90^{\circ}-\angle ACB=\angle CBH,
\angle CBK=\angle ABK-\angle ABC=90^{\circ}-\angle ABC=\angle BCH.
Значит, BH\parallel CK
и BK\parallel XH
. Следовательно, BKCH
— параллелограмм, а M
— точка пересечения его диагоналей. Тогда точки H
, M
, K
и E
лежат на одной прямой, а
\angle AEM=\angle AEK=90^{\circ}.
Отрезок AM
виден из точек E
и D
под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AM
. Тогда
\angle DEM=\angle DAM~\Rightarrow~\angle AMB=\angle AED=\angle AEF=\angle ACF,
а так как \angle ABM=\angle AFC
, то треугольники ABM
и AFC
подобны по двум углам. Значит,
\frac{AM}{CM}=\frac{AM}{BM}=\frac{AC}{FC}.\eqno(1)
Поскольку \angle CAD=\angle BAO
(см. задачу 20), то \angle CAM=\angle BAF
, а так как при этом \angle ACM=\angle ACB=\angle AFB
, то треугольники ACM
и AFB
тоже подобны по двум углам. Тогда
\frac{AM}{CM}=\frac{AB}{FB}.\eqno(2)
Из (1) и (2) получаем, что \frac{AC}{FC}=\frac{AB}{FB}
. Следовательно, \frac{BF}{CF}=\frac{AB}{AC}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 2012, задача 4