17924. На сторонах AB
и AC
остроугольного треугольника ABC
как на диаметрах построены окружности. Окружность с диаметром AC
вторично пересекает отрезок AB
в точке F
, а окружность с диаметром AB
вторично пересекает отрезок AC
в точке E
. Отрезок BE
пересекает окружность с диаметром AC
в точке P
, а отрезок CF
пересекает окружность с диаметром AB
в точке Q
. Докажите, что AP=AQ
.
Решение. Точка Q
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle AQB=90^{\circ}
. Аналогично, \angle AFQ=\angle AFC=90^{\circ}
.
Поскольку QF
— высота прямоугольного треугольника AQB
, проведённая из вершины прямого угла, получаем AQ^{2}=AF\cdot AB
. Аналогично, AP^{2}=AE\cdot AC
(см. задачу 2728).
Из точек E
и F
отрезок BC
виден под прямым углом, поэтому четырёхугольник BFEC
вписан в окружность с диаметром BC
. Тогда (см. задачу 2636) AF\cdot AB=AE\cdot AC
. Значит,
AP^{2}=AE\cdot AC=AF\cdot AB=AQ^{2}.
Следовательно, AP=AQ
. Что и требовалось доказать.
Источник: Центральноамериканская математическая олимпиада. — 2000, задача B2