17937. В окружности с центром O
проведена хорда AB
, не являющаяся диаметром. На луче OB
отмечена точка T
. Прямая, проходящая через точку T
перпендикулярно OB
, пересекает хорду AB
в точке C
, а окружность — в точках D
и E
. Точка S
— проекция точки T
на хорду AB
. Докажите, что AS\cdot BC=TE\cdot TD
.
Решение. Пусть BB'=2R
— диаметр окружности, а \angle ABB'=\alpha
. Заметим, что TS
— высота прямоугольного треугольника BTC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728) TB^{2}=BC\cdot BS
. Тогда (см. задачу 2627)
TE\cdot TD=TB\cdot TB'=TB(2R-TB)=2R\cdot\frac{BS}{\cos\alpha}-TB^{2}=2R\cdot\frac{BS}{\cos\alpha}-BC\cdot BS.
Заметим, что AS\cdot BC=TE\cdot TD
тогда и только тогда, когда
AS\cdot BC=2R\cdot\frac{BS}{\cos\alpha}-BC\cdot BS,
или
2R\cdot\frac{BS}{\cos\alpha}=AS\cdot BC+BC\cdot BS=BC(AS+BS)=BC\cdot AB.
Значит,
AS\cdot BC=TE\cdot TD\Leftrightarrow~BC\cdot\frac{AB}{2R}=\frac{BS}{\cos\alpha}\Leftrightarrow~BC\cos\alpha=\frac{BS}{\cos\alpha}\Leftrightarrow~\frac{BS}{BC}=\cos^{2}\alpha.
В то же время, \cos\alpha=\frac{BS}{BT}=\frac{BT}{BC}
, поэтому
\cos^{2}\alpha=\frac{BS}{BT}\cdot\frac{BT}{BC}=\frac{BS}{BC}.
Отсюда следует доказываемое равенство.
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 2010, задача 3, с. 16