17939. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором \angle ABC=\angle ADC=135^{\circ}
и
AC^{2}\cdot BC^{2}=2AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA.
Докажите, что диагонали четырёхугольника ABCD
перпендикулярны.
Указание. Примените формулы из задач 3018 и 4254.
Решение. Пусть диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются под углом \alpha
, а площадь четырёхугольника равна S
. Тогда
S=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha.
в то же время,
S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin135^{\circ}+\frac{1}{2}AD\cdot CD\sin135^{\circ}=
=\frac{\sqrt{2}}{4}(AB\cdot BC+AD\cdot CD),
поэтому
AC\cdot BD\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}(AB\cdot BC+AD\cdot CD).\eqno(1)
Далее получаем
AC^{2}\cdot BD^{2}\sin^{2}\alpha\leqslant AC^{2}\cdot BD^{2}=2AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA.
Тогда из (1) следует, что
(AB\cdot BC+AD\cdot CD)^{2}\leqslant4AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA,
т. е.
(AB\cdot BC-AD\cdot CD)^{2}\leqslant0~\Rightarrow~AB\cdot BC=AD\cdot CD.
Последнее равенство верно только в случае \sin\alpha=1
. Следовательно, \alpha=90^{\circ}
, т. е. AC\perp BD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 2010, задача 2, с. 56