17947. Точка P
лежит на стороне BC
треугольника ABC
. Точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно, причём MN
не параллельно BC
, а AMPN
— параллелограмм. Прямая MN
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точках R
и S
. Докажите, что описанная окружность треугольника RPS
касается прямой BC
.
Указание. Используя подобие и теорему о пропорциональных отрезках, докажите, что \frac{QP}{QB}=\frac{QC}{QP}
. Далее см. задачу 4776.
Решение. Пусть прямые MN
и BC
пересекаются в точке S
. Поскольку BM\parallel NP
и AN\parallel MP
, то
\frac{QP}{QB}=\frac{NP}{MB}=\frac{AM}{MB}=\frac{CP}{PB}~\mbox{и}~\frac{QC}{QP}=\frac{CN}{PM}=\frac{CN}{NA}=\frac{CP}{PB},
откуда
\frac{QP}{QB}=\frac{QC}{QP}~\Rightarrow~QP^{2}=QB\cdot QC=QS\cdot QR
(см. задачу 2636). Следовательно (см. задачу 4776), прямая BC
— касательная к описанной окружности треугольника PRS
.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2014, задача 3, с. 106