17955. Около треугольника ABC
описана окружность \Gamma
, I
— центр вписанной окружности треугольника. Окружность \omega
касается прямой AI
в точке I
, а также касается стороны BC
. Докажите, что окружности \Gamma
и \omega
касаются.
Указание. Пусть M
— середина не содержащей точки A
дуги BC
окружности \Gamma
, а F
— точка пересечения луча M
с окружностью \omega
. Докажите, что точка F
лежит на окружности \Gamma
.
Решение. Пусть M
— середина не содержащей точки A
дуги BC
окружности \Gamma
, а F
— точка пересечения луча M
с окружностью \omega
.
По теореме о трилистнике (см. задачу 788) MI=MB
. Поскольку MI
— касательная к окружности \omega
, получаем, что
ME\cdot MF=MI^{2}=MB^{2},
поэтому MB
— касательная к окружности \omega
(см. задачу 4776). Значит, по теореме об угле между касательной и хордой
\angle BFM=\angle MBE=\angle MAC=\angle BAM.
Следовательно, точка F
лежит на окружности \Gamma
.
Касательная к окружности \Gamma
в точке M
параллельна стороне BC
, а точки F
, E
и M
лежат на одной прямой (см. задачу 89), поэтому при гомотетии с центром F
, переводящей прямую BC
в касательную к окружности \Gamma
в точке M
, окружность \omega
переходит в окружность \Gamma
. Значит, F
— центр гомотетии. Следовательно, окружности \Gamma
и \omega
касаются в точке F
.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2015, задача 3, с. 73