17967. Даны окружность
\Gamma
с центром
O
и её хорда
BC
, не равная диаметру. Отрезок
AE
— диаметр, перпендикулярный
BC
, причём точка
A
лежит на большей дуге
BC
окружности
\Gamma
. Точка
D
, отличная от
A
, тоже лежит на этой дуге. Прямая
AD
пересекает прямую
BC
в точке
S
, а прямая
ED
пересекает прямую
BC
в точке
T
. Точка
F
— середина
ST
, а
I
— вторая точка пересечения описанной окружности треугольника
ODF
с прямой
BC
.
а) Прямая, проходящая через точку
I
параллельно
OD
пересекает прямые
AD
и
ED
в точках
M
и
N
соответственно. Найдите положение точки
D
, при котором площадь треугольника
MDN
, если точка
D
, отличная от
A
, перемещается по большей дуге
BC
окружности
\Gamma
.
б) Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки
D
на прямую
ST
, проходит через середину отрезка
MN
.
Ответ. а) Треугольник
ADE
(а значит, и
MDN
) прямоугольный и равнобедренный.
Решение. а) Заметим, что
\angle ADE=90^{\circ}
как вписанный в окружность
\Gamma
угол, опирающийся на диаметр, поэтому
DO
и
DF
— медианы прямоугольных треугольников
ADE
и
SDT
, проведённые из вершин прямых углов.
Треугольник
ODE
равнобедренный, так как
OD=OE
как радиусы окружности
\Gamma
. Тогда треугольники
INE
и
IMA
тоже равнобедренные, так как (см. задачу 1109)
DO=\frac{1}{2}AE=OE~\mbox{и}~NI\parallel OD.

Таким образом,
IE=IN
и
EM=IA
. Следовательно,
MN=IM-IN=IA-IE=const.

Прямоугольные треугольники
DMN
и
DAE
подобны с постоянным коэффициентом , так как
\angle MND=\angle INE=\angle IEN=\angle AED.

Значит, наименьшую площадь треугольник
DMN
имеет тогда и только тогда, когда наименьшую площадь имеет треугольник
DAE
.
Среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего квадратичного (см. задачу 3399), т. е.
S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}DA\cdot DE\leqslant\frac{DA^{2}+DE^{2}}{2}=AE^{2},

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда
DA=DE
, или тогда и только тогда, когда прямоугольный треугольник
ADE
— равнобедренный.
б) Пусть
P
— середина отрезка
MN
. Тогда
\angle PDN=\angle PND=\angle INE=\angle IEN,

поэтому
DP\parallel AE
, а так как
AE\perp ST
, то
DP\perp ST
. Отсюда следует утверждение пункта б).
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2017, задача 3, с. 28