17993. Точки B_{0}
и C_{0}
— основания высот остроугольного треугольника ABC
, проведённых из вершин B
и C
соответственно; X
— точка внутри треугольника ABC
, для которой прямая BX
— касательная к описанной окружности треугольника AXC_{0}
, а прямая CX
— касательная к описанной окружности треугольника AXB_{0}
. Докажите, что AX\perp BC
.
Указание. Пусть A_{0}
— основание высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины A
. Тогда XA_{0}
— высота прямоугольного треугольника XC
.
Решение. Пусть A_{0}
— основание высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины A
. Из точек A_{0}
и C_{0}
сторона AC
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Тогда (см. задачу 2636 и 93)
BX^{2}=BA\cdot BC_{0}=BA_{0}\cdot BC.
Аналогично получим, что
CX^{2}=CA\cdot CB_{0}=CA_{0}\cdot BC.
Сложив эти равенства, получим
BX^{2}+CX^{2}=BA_{0}\cdot BC+CA_{0}\cdot BC=BC(BA_{0}+CA_{0})=BC\cdot BC=BC^{2}.
Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BXC
прямоугольный с прямым углом при вершине X
.
В то же время,
BX^{2}=BA_{0}\cdot BC~\Rightarrow~\frac{BX}{BC}=\frac{BA_{0}}{BX},
поэтому прямоугольные треугольники BXA_{0}
и BCX
подобны. Значит,
\angle BA_{0}X=\angle BXC=90^{\circ}=\angle BA_{0}A,
поэтому точки A_{0}
, X
и A
лежат на одной прямой. Следовательно, AX\perp BC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2011, задача T-6, с. 20