18001. Биссектриса угла ABC
треугольника ABC
пересекает сторону AC
в точке L
, а его описанную окружность — в точке W
. Точка K
— проекция точки L
на прямую AW
. Описанная окружность треугольника BLC
вторично пересекает прямую CK
в точке P
. Прямые BP
и AW
пересекаются в точке T
. Докажите, что AW=WT
.
Решение. По теореме о внешнем угле треугольника, учитывая равенство углов WAC
и WBC
, получим
\angle BPC=\angle BLC=\angle BAC+\angle ABL=\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ABC=
=\angle BAC+\angle LBC=\angle BPC+\angle WAC=\angle BAW,
поэтому
\angle BPK=180^{\circ}-\angle BPC=180^{\circ}-\angle BAW.
Следовательно, четырёхугольник ABPK
вписанный.
Пусть прямая KL
пересекает описанную окружность треугольника BLC
в точке S
, отличной от L
. Тогда
\angle KSC=\angle LSC=\angle LBC=\angle WBC=\angle WAC=\angle KAC,
Следовательно, четырёхугольник KASC
вписанный.
Радикальные оси описанных окружностей четырёхугольников KABP
, BPCS
и KASC
, т. е. прямые AK
, BP
и CS
(см. задачу 6392), пересекаются в одной точке — радикальном центре этих окружностей (см. задачу 6393). Обозначим эту точку через T
.
Поскольку \angle SCA=\angle SKA=90^{\circ}
, то \angle TCA=90^{\circ}
. В то же время, AW=WC
как хорды описанной окружности четырёхугольника ABCW
, на которые опираются равные вписанные углы ABW
и CBW
. Значит, точка W
лежит на серединном перпендикуляре к катету AC
прямоугольного треугольника ACT
, а так как этот серединный перпендикуляр параллелен катету CT
, то по теореме Фалеса W
— середина гипотенузы AT
. Следовательно, AW=WT
. Что и требовалось доказать.
Источник: Среднеевропейская математическая олимпиада. — 2018, задача T-6, с. 19