18015. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
с центрами S
и T
соответственно пересекаются в точках A
и B
. На отрезке AB
отмечена точка P
, отличная от его середины и от его концов. Прямая, проходящая через точку P
перпендикулярно SP
, пересекает окружность \Gamma_{1}
в точках C
и D
, а прямая, проходящая через P
перпендикулярно TP
, пересекает \Gamma_{2}
в точках E
и F
. Докажите, что точки C
, D
, E
и F
— вершины прямоугольника.
Решение. Точка P
лежит на радикальной оси окружностей \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
(см. задачу 6392), поэтому степени точки P
относительно этих окружностей равны (см. задачу 6391). Значит,
PA\cdot PB=PC\cdot PD=PE\cdot PF,
а так как P
— середина хорд BC
и EF
(см. задачу 1676), то
PC^{2}=PD^{2}=PE^{2}=PF^{2}=PA\cdot PB~\Rightarrow~PC=PD=PE=PF.
Равные отрезки CE
и CD
делятся точкой пересечения P
пополам. Следовательно, точки C
, D
, E
и F
— вершины прямоугольника. Что и требовалось доказать.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 1998, задача 2, с. 40