18017. Окружность \omega
расположена внутри окружности \Omega
и касается \Omega
в точке A
. Прямая, проходящая через точку A
, пересекает окружность \omega
в точке B
, отличной от A
, а окружность \Omega
— в точке C
. Касательная к \omega
в точке B
пересекает \Omega
в точках D
и E
. Через точку C
проведены прямые, касающиеся \omega
в точках F
и G
. Докажите, что точки D
, E
, F
и G
лежат на одной окружности.
Указание. Примените утверждения задач 6402, 93 и докажите подобие треугольников CEA
и CBE
.
Решение. Заметим, что касательная к окружности \Omega
в точке C
параллельна DE
(см. задачу 6402 или задачу 89), а FC
— середина дуги DE
, не содержащей точки A
. Тогда равны вписанные в окружность \Omega
углы CEB
и CAE
, опирающиеся на равные хорды, а также CE=CD
.
Треугольники CEA
и CBE
с общим углом при вершине C
равны по двум углам, поэтому
\frac{CB}{CE}=\frac{CE}{AC}~\Rightarrow~CB\cdot AC=CE^{2}=CD^{2}.
Тогда по теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
CB\cdot CA=CG^{2}=CF^{2}.
Тогда
CG^{2}=CF^{2}=CE^{2}=CD^{2}~\Rightarrow~CG=CF=CE=CD,
т. е. точки D
, E
, F
и G
равноудалены от точки C
. Следовательно, они лежат на окружности с центром C
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Североевропейское математическое соревнование (Nordic Mathematical Contest, NMC). — 2005, задача 4, с. 57