18037. Около остроугольного неравнобедренного треугольника ABC
с высотой AD
описана окружность с центром O
. Прямые BC
и AO
пересекаются в точке E
. Прямая l
проведена через точку E
перпендикулярно AO
и пересекает прямые AB
и AC
в точках K
и L
соответственно. Около треугольника AKL
описана окружность \omega
, вторично пересекающая прямую AD
в точке X
. Докажите, что окружность \omega
и описанные окружности ABC
и DEX
проходят через одну точку.
Решение. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда (см. задачу 20)
90^{\circ}-\beta=\angle BAD=\angle OAC,~90^{\circ}-\gamma=\angle CAD=\angle BAO,
поэтому
\angle KAX+\angle AXK=\angle KAX+\angle ALK=\angle KAX+\angle ALE=
=(90^{\circ}-\beta)+(90^{\circ}-(90^{\circ}-\beta))=90^{\circ}~\Rightarrow~\angle AKX=90^{\circ}.
Значит, AX
— диаметр окружности \omega
, а так как точка X
лежит на на описанной окружности \omega_{1}
прямоугольного треугольника DEX
, то X
— точка пересечения окружности \omega
и окружности \omega_{1}
.
Осталось доказать, что описанная окружность треугольника ABC
проходит через точку X
, а это так, если четырёхугольник ABFC
вписанный.
Поскольку
\angle KLF=\angle KAF=90^{\circ}-\gamma~\mbox{и}~\angle FEL=90^{\circ},
то
\angle EFL=\angle AFL=\angle AXL=90^{\circ}-\angle XAL=90^{\circ}-(\alpha-(90^{\circ}-\beta))=
=180^{\circ}-\alpha-\beta=\gamma=\angle ECL.
Тогда четырёхугольник ABFC
вписанный (см. задачу 12). Значит, описанная окружность треугольника ABC
проходит через точку X
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Балканская математическая олимпиада юниоров (JBMO). — 2021, задача 3