18069. Точки I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
. Известно, что AB=495
, AC=977
и \angle AIO=90^{\circ}
. Найдите сторону BC
.
Ответ. 736.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром A
и коэффициентом 2.
Решение. Пусть биссектриса AI
угла ABC
пересекает сторону BC
в точке D
, а описанную окружность треугольника ABC
— в точке I'
(середине меньшей дуги BC
описанной окружности треугольника ABC
). При гомотетии с центром A
и коэффициентом 2 точка O
переходит в O'
— точку, диаметрально противоположную вершине A
.
Поскольку
\angle AI'O'=90^{\circ}=\angle AIO,
прямая I'O'
параллельна прямой IO
, поэтому при рассматриваемой гомотетии прямая IO
переходит в прямую I'O'
, а так как прямая AI
, проходящая через центр гомотетии, переходит в себя, то точка I
переходит в I'
.
По теореме о трилистнике (см. задачу 788) I'I=I'C
, а так как
\angle DCI'=\angle BCI'=\angle BAI'=\angle CAI',
то треугольники DCI'
и CAI'
с общим углом при вершине I'
подобны по двум углам. Тогда
\frac{I'I}{I'D}=\frac{I'C}{I'D}=\frac{I'A}{CI'}=\frac{I'A}{I'I}=\frac{O'A}{O'O}=2.
Значит,
S_{\triangle BCI}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC},~\mbox{или}~\frac{1}{2}BC\cdot r=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}(AB+BC+CA),
где r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 452). Таким образом,
3BC=AB+BC+CA~\Rightarrow~BC=\frac{AB+AC}{2}=\frac{495+977}{2}=376.
Примечание. В примечании к задаче 6110 доказано, что если биссектриса угла при вершине A
треугольника ABC
перпендикулярна прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, то сторона BC
есть среднее арифметическое двух других сторон треугольника (т. е. треугольник ABC
разностный).
Источник: Международная математическая олимпиада Naboj. — 2023, задача 55, с. 20