18084. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
, диагонали AC
и BD
которого пересекаются в точке E
, а M
и N
— середины отрезков AE
и DC
соответственно. Известно, что \angle ABD=\angle DBC
. Докажите, что четырёхугольник MBCN
вписанный.
Решение. Вписанные углы BDC
и BAC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BDC=\angle BAC=\angle BAE,
а так как по условию
\angle ABE=\angle ABD=\angle DBC,
то треугольники DCB
и AEB
подобны по двум углам. Поскольку при этом подобии медиана BN
треугольника DCB
соответствует медиане BM
треугольника AEB
, треугольники NBC
и MBE
тоже подобны (см. задачу 2602). Тогда
\angle BMC=\angle BME=\angle BNC.
Из точек M
и N
, лежащих по одну сторону от прямой BC
, отрезок BC
виден под одним и тем же углом, значит, точки M
, B
, C
и N
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Следовательно, четырёхугольник MBCN
вписанный. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2010, отбор на Международную олимпиаду, задача 4, с. 26