18087. На диаметре AB
окружности отмечена точка C
, для которой 2AC=BC
. Точки D
и E
лежат на окружности, причём DE
— тоже её диаметр, а CD\perp AB
. Найдите отношение площадей треугольников ABD
и CDE
.
Ответ. 3.
Решение. Пусть M
— центр окружности (т. е. точка пересечения диаметров AB
и DE
). Обозначим S_{\triangle CDE}=s
. Отрезок CM
— медиана треугольника CDE
, поэтому S_{\triangle CDE}=2s
(см. задачу 3001).
Поскольку
CM=AM-AC\frac{1}{2}AB-\frac{1}{3}AB=\frac{1}{6},
поэтому (см. задачу 3000) S_{\triangle ABD}=6s
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle CDE}}=\frac{6s}{2s}=3.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2010, второй раунд, задача 2, с. 10