18094. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно пересекаются в точках C
и D
. Окружность \Gamma_{1}
пересекает отрезок O_{1}O_{2}
в точке A
. Прямая AD
вторично пересекает окружность \Gamma_{1}
в точке S
. Прямые CS
и O_{1}O_{2}
пересекаются в точке F
. Описанная окружность \Gamma_{3}
треугольника ADF
вторично пересекает окружность \Gamma_{1}
в точке E
. Докажите, что прямая O_{1}E
касается \Gamma_{3}
.
Указание. Докажите, что O_{1}A\cdot O_{1}F=O_{1}E^{2}
.
Решение. Пусть T
— точка пересечения прямой O_{1}O_{2}
с содержащей точку C
дугой SD
окружности \Gamma_{1}
. Точка A
лежит внутри окружности \Gamma_{1}
, поэтому по теореме о внешнем угле треугольника и равнобедренности треугольника O_{1}ST
получаем
\angle O_{1}AS=\angle ATS+\angle TSA=\angle O_{1}TS+\angle TSD=\angle TSO_{2}+\angle TSD.
Линия центров пересекающихся окружностей проходит через середину их общей хорды и делит её пополам (см. задачу 1130), поэтому прямая O_{1}O_{2}
— серединный перпендикуляр к отрезку CD
. Значит, дуги TC
и TD
равны. Тогда равны опирающиеся на них вписанные в окружность \Gamma_{1}
углы TSD
и CST
. Следовательно,
\angle O_{1}AS=\angle STO_{1}+\angle TSD=\angle TSO_{1}+\angle CST=\angle CSO_{1}=\angle FSO_{1}.
Значит, треугольники O_{1}AS
и O_{1}SF
с общим углом при вершине O_{1}
подобны по двум углам. Тогда
\frac{O_{1}A}{O_{1}S}=\frac{O_{1}S}{O_{1}F}~\Rightarrow~O_{1}A\cdot O_{1}F=O_{1}S^{2}=O_{1}E^{2},
причём точки A
и F
лежат на прямой O_{1}O_{2}
по одну сторону от точки O_{1}
. Следовательно (см. задачу 4776), O_{1}E
— касательная к окружности \Gamma_{3}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2011, задача 3, с. 34