18108. Дан треугольник ABC
, в котором AC=2AB
, O
— центр описанной окружности, AD
— биссектриса треугольника ABC
, E
— проекция точки O
на прямую AD
, а F
— отличная от D
точка на прямой AD
, для которой CD=CF
. Докажите, что \angle EBF=\angle ECF
.
Указание. Пусть луч AD
пересекает описанную окружности треугольника ABC
в точке G
. Докажите, что четырёхугольники DMCG
и EMCF
вписанные.
Решение. Пусть луч AD
пересекает описанную окружности треугольника ABC
в точке G
. Тогда E
— середина отрезка AG
(см. задачу 1676).
Пусть M
— середина стороны AC
. Тогда AB=\frac{1}{2}AC=AM
, а так как AD
— биссектриса угла BAM
, то точка M
симметрична точке B
относительно прямой AD
. Тогда
\angle DGC=\angle AGC=\angle ABC=\angle ABD=\angle DMA=180^{\circ}-\angle DMC.
Значит, четырёхугольник DMCG
вписанный (см. задачу 49). Тогда (см. задачу 2636)
2AM^{2}=2AM\cdot AM=AC\cdot AM=AG\cdot AD=2AE\cdot AD~\Rightarrow
\Rightarrow~AM^{2}=AE\cdot AD~\Rightarrow~\frac{AM}{AD}=\frac{AE}{AM}.
Значит, треугольники AME
и ADM
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам. Тогда, учитывая рассматриваемую выше симметрию, получаем
180^{\circ}-\angle EMC=\angle EMA=\angle MDA=\angle BDA=\angle CDF=\angle DFC=\angle EFC,
поэтому четырёхугольник EMCF
тоже вписанный. Следовательно, учитывая симметрию, получаем
\angle EBF=\angle EMF=\angle ECF.
Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2014, задача 4, с. 28