18110. На рисунке изображён четырёхугольник ABCD
, точки E
и F
— середины сторон AB
и CD
соответственно. Отрезки AF
, BF
, CE
, DE
и EF
разбивают этот четырёхугольник на восемь треугольников, площади которых указаны на рисунке. Докажите, что:
а) a+d=p+q
;
б) a+r=c+p
;
в) b+s=d+q
.
Решение. а) Поскольку FE
— медиана треугольника AFB
, треугольники AFE
и BFE
равновелики (см. задачу 3001). Значит,
a+d=p+q.
б) Поскольку EF
— медиана треугольника CED
, треугольники CEF
и DEF
равновелики. Значит,
c+d=q+r.
Вычитая из этого равенства доказанное в пункте равенство
a+d=p+q,
получим
(c+d)-(a+d)=(p+q)-(q+r)~\Rightarrow~c-a=p-r~\Rightarrow~a+r=c+p.
в) См. задачу 3158.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2014, задача C1, с. 16