18115. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно пересекаются в точках A
и B
. Прямая O_{1}A
пересекает \Gamma_{2}
в точках A
и C
, а прямая O_{2}A
пересекает \Gamma_{1}
в точках A
и B
. Прямая, проходящая через точку B
параллельно AD
, пересекает \Gamma_{1}
в точках B
и E
. Известно, что O_{1}A\parallel DE
. Докажите, что CD\perp O_{2}C
.
Указание. Докажите, что точки C
, D
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной окружности.
Решение. Рассмотрим случай, когда точки A
, B
, E
и D
лежат на окружности \Gamma_{1}
в указанном порядке, а точки O_{1}
, A
и C
лежат на прямой O_{1}C
в указанном порядке. В остальных случаях решение аналогично.
Поскольку AD\parallel BE
, четырёхугольник ADEB
— трапеция, а так как эта трапеция вписана в окружность \Gamma_{1}
, то она равнобедренная.
Обозначим \angle ABE=\angle DEB=\alpha
. Из равнобедренности треугольника AO_{1}D
и параллельности O_{1}A
и DE
получаем
\angle ADO_{1}=\angle DAO_{1}=\angle DEB=\alpha.
Тогда
\angle O_{2}DO_{1}=\angle ADO_{1}=\angle DAO_{1}=\angle CAO_{2}=\angle ACO_{2}=\angle O_{1}CO_{2}.
Таким образом, из точек C
и D
, лежащих по одну сторону от прямой O_{1}O_{2}
, отрезок O_{1}O_{2}
виден под одним и тем же углом. Значит (см. задачу 12) четырёхугольник O_{1}DCO_{2}
вписанный.
Поскольку \angle ABE=\alpha=\angle ADO_{1}
, прямые DO_{1}
и AB
параллельны, а так как прямая O_{1}O_{2}
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
(см. задачу 1130), то DO_{1}\perp AB
. Тогда DO_{2}
— диаметр описанной окружности четырёхугольника O_{1}DCO_{2}
. Следовательно, \angle DCO_{2}=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2015, задача 4, с. 31