18127. Вписанная в неравнобедренный треугольник ABC
окружность с центром I
касается сторон AC
и BC
в точках E
и D
соответственно. Точка H
— ортоцентр треугольника ABI
, луч AI
пересекает прямую BH
в точке K
, а луч BI
пересекает прямую AH
в точке L
. Докажите, что описанные окружности треугольников DKH
и ELH
пересекаются на вписанной окружности треугольника ABC
.
Указание. Докажите, что точки K
, D
, E
и L
лежат на одной прямой. Далее см. задачи 4770 и 49.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Решение для любого другого случая аналогично изложенному ниже.
Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается его стороны AB
в точке F
. Заметим, что точка I
лежит на высоте HF
треугольника AHB
, а I
— ортоцентр треугольника AHB
.
Поскольку \angle IDB=90^{\circ}=\angle IKB
, четырёхугольник BKDI
вписанный (см. задачу 1689). Поскольку \angle ALB=90^{\circ}=\angle AKB
, четырёхугольник BKLA
тоже вписанный. Пусть углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Тогда
\angle BKD=180^{\circ}-\angle BID=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=180^{\circ}-\angle BAL=\angle BKL.
Значит, точки K
, D
и L
лежат на одной прямой. Аналогично, K
, E
и L
лежат на одной прямой. Следовательно, точки K
, D
, E
и L
лежат на одной прямой.
Пусть S
— отличная от H
точка пересечения описанных окружностей треугольников DKH
и ELH
. Тогда
\angle DSE=360^{\circ}-\angle DSH-\angle HSE=(180^{\circ}-\angle DSH)+(180^{\circ}-\angle HSE)=
=\angle DKH+(180^{\circ}-\angle HLE)=\angle LKH+\angle HLK=180^{\circ}-\angle KHL=\angle KIL=
=\angle AIB=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}.
В то же время,
\angle DFE=\angle FFI+\angle IFE=\angle DBI+\angle IAE=\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha}=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2},
а так как четырёхугольники AFIE
и BFID
тоже вписанные, то
\angle DFE+\angle DSE=\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)+\left(90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\right)=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник DFES
вписанный. Следовательно, точка S
лежит на описанной окружности треугольника DFE
, т. е. на вписанной окружности треугольника ABC
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2017, задача 2, с. 28