18133. Точка D
— середина катета AC
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине C
, а точка E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки C
на медиану BD
. Докажите, что касательная к описанной окружности треугольника AEC
, проведённая в точке C
, перпендикулярна AB
.
Указание. Из теоремы о трилистнике следует, что D
— центр окружности \Omega
.
Решение. Пусть S
— точка пересечения касательной из условия задачи с прямой AB
. Нужно доказать, что \angle BSC=90^{\circ}
.
Поскольку CE
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, то (см. задачу 2728)
DC^{2}=DE\cdot DB~\Rightarrow~\frac{DC}{DB}=\frac{DE}{DC},
поэтому прямоугольные треугольники BCD
и CED
подобны, а так как DA=DC
, то \frac{DA}{DB}=\frac{DE}{DA}
. Тогда треугольники ADE
и BDA
с общим углом при вершине D
тоже подобны. Значит, \angle ABD=\angle EAD
.
Поскольку SC
— касательная к описанной окружности треугольника AEC
, то по теореме об угле между касательной и хордой
\angle EAD=\angle EAC=\angle SCE,
поэтому
\angle SCE=\angle ABD=\angle SBE.
Значит, четырёхугольник SBCE
вписанный (см. задачу 12). Тогда
\angle BSC=\angle BEC=90^{\circ}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2018, задача 2, с. 22