18140. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Прямая, проходящая через точку E
и отличная от прямой AC
и от прямой BD
, пересекает прямую AB
в точке P
, а прямую BC
— в точке Q
. Окружность, касающаяся прямой PQ
в точке E
и проходящая через точку D
, вторично пересекает описанную окружность четырёхугольника ABCD
в точке R
, отличной от D
. Докажите, что точки B
, P
, R
и Q
лежат на одной окружности.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (точка P
лежит внутри отрезка AB
, а точка Q
не лежит внутри отрезка BC
. В остальных возможных случаях решение аналогично изложенному ниже.
Поскольку четырёхугольник DBCR
вписанный,
\angle QCR=180^{\circ}-\angle BCR=\angle BDR,
а так как прямая EQ
— касательная к описанной окружности треугольника EDR
, то по теореме о угле между касательной и хордой
\angle BDR=\angle EDR=\angle QER.
В то же время, четырёхугольник CERQ
вписанный, так как
\angle RCQ=\angle BDR=\angle QER
(см. задачу 12). Аналогично докажем, что четырёхугольник EPAR
тоже вписанный. Тогда
\angle PRQ=\angle PRE+\angle ERQ=\angle PAE+(180^{\circ}-\angle ECQ)=\angle BAE+\angle ECB.
Сумма углов BAC
и ACB
треугольника ABC
равна 180^{\circ}-\angle ABC
, а
180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\angle PBQ.
Значит,
\angle PRQ=\angle PRE+\angle ERQ=\angle BAC+(180^{\circ}-\angle ECQ)=
=\angle BAC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\angle PBQ.
Следовательно (см. задачу 49), четырёхугольник BPRQ
вписанный. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2019, задача 1, с. 32