18143. Дан четырёхугольник ABCD
с прямыми углами при вершинах A
и D
. Окружность радиуса 10, расположенная внутри четырёхугольника ABCD
, касается всех его сторон. Точки E
и F
— середины сторон AD
и BC
соответственно. Найдите EF
, если BC=24
.
Ответ. 22.
Решение. Пусть O
— центр окружности. Заметим, что ABCD
— описанная прямоугольная трапеция с основаниями AB
и CD
, EF
— её средняя линия, а если G
и H
— точки касания окружности с основаниями AB
и CD
соответственно, то OEDH
и OGAE
— квадраты. Следовательно (см. задачи 1928 и 310),
EF=\frac{AB+CD}{2}=\frac{AD+BC}{2}=\frac{(AE+ED)+BC}{2}=\frac{GH+BC}{2}=
=\frac{AD+BC}{2}=\frac{GH+BC}{2}=\frac{2\cdot OG+BC}{2}=\frac{20+24}{2}=22.
Источник: Датские математические олимпиады. — 2019, задача 8, с. 4